Ακολουθία που είναι μονότονη και φραγμένη, συγκλίνει.

Το θεώρημα για αύξουσες ακολουθίες

Αν μια ακολουθία είναι αύξουσα και είναι άνω φραγμένη, μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής την κατάσταση:

Τα σημεία της ανεβαίνουν όλο και πιο ψηλά, αλλά δεν μπορούν να φύγουν στο άπειρο.

Επομένως η ανοδική πορεία θα γίνεται όλο και πιο αργή, και τα σημεία θα συσσωρεύονται σε κάποιον αριθμό.

Ο αριθμός αυτός φαίνεται να είναι το όριο της ακολουθίας.

Απόδειξη

Η δυσκολία στην απόδειξη είναι το πώς θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της σύγκλισης. i Η απαγωγή σε άτοπο δεν μας δίνει κάτι χρήσιμο, οπότε μόνη μας επιλογή είναι ο ορισμός

Συγκεκριμένα, ο ορισμός της σύγκλισης χρειάζεται να έχουμε ένα υποψήφιο σημείο σύγκλισης της ακολουθίας.

Και μετά, παίρνοντας ένα τυχαίο $\epsilon > 0$, να δείξουμε ότι πράγματι αυτό είναι το όριο της ακολουθίας.

Μπορείς να βρεις ποιο θα μπορούσε να είναι το όριο μιας φθίνουσας και κάτω φραγμένης ακολουθίας; i Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια έννοια από το πρώτο κεφάλαιο για να εκφράσουμε το όριο μιας οποιασδήποτε τέτοιας ακολουθίας

Αυστηρή Απόδειξη

Περιμένουμε η φραγμένη ακολουθία να συγκλίνει στο supremum των όρων της αν είναι αύξουσα και στο infimum, αν είναι φθίνουσα.

Επομένως χωρίζουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις, για τις αύξουσες και για τις φθίνουσες ακολουθίες.

Το γεγονός ότι το supremum και το infimum ικανοποιούν τον ορισμό της σύγκλισης, προκύπτει από τον $\epsilon$-χαρακτηρισμό!

Συγκεκριμένα, ο χαρακτηρισμός μας λέει ότι, όποιο $\epsilon$ και να επιλέξουμε, κάποιο στοιχείο θα βρίσκεται $\epsilon$-κοντά στο supremum (ή στο infimum).

Για τη σύγκλιση, από την άλλη, δεν θέλουμε μόνο ένα στοιχείο να είναι $\epsilon$-κοντά, αλλά και όλα τα επόμενα!

Λόγω της μονοτονίας, όμως, αν ένα στοιχείο είναι $\epsilon$-κοντά στο supremum, τότε και τα επόμενα θα βρίσκονται $\epsilon$-κοντά επίσης! ? Γιατί ισχύει το τελευταίο;